lunes, 10 de octubre de 2011

GENERALIDADES


La Geometría Descriptiva es la parte de las matemáticas que trata del espacio físico y tiene por objeto representar en dos dimensiones, los objetos que están en un espacio tridimensional. Permite entonces, detallar la relación que guardan las partes de un objeto respecto a las partes de otro; también la relación entre una pieza de un elemento con otra pieza del mismo.

Estas relaciones espaciales que se expresan y analizan mediante la Geometría Descriptiva son factores importantes para el diseño de sistemas de ingeniería y estructuras arquitectónicas. Pero tal vez el aporte más importante de esta ciencia, tiene que ver con que nos permite explorar y conocer el espacio tridimensional; nos exige imaginar y analizar más allá de las dos dimensiones y este es un aspecto bastante importante cuando se pretende iniciar y desarrollar cualquier proyecto de Ingeniería.

Antes de entrar a fondo en el tema, es importante anotar que la aplicación de la Geometría Descriptiva es en un alto porcentaje práctica. Su metodología se centra en la realización de ejercicios aplicables que buscan contextualizar al observador en un espacio tridimensional. Sin embargo, su fundamentación teórica es factor indispensable y la esencia para el buen entendimiento del tema, por lo cual debe manejarse con absoluta claridad.

1.1 GENERACIÓN DE UN  ESPACIO EN TRES DIMENSIONES:
Al considerar que los diferentes problemas a interpretar en Geometría Descriptiva tienen lugar en un espacio tridimensional, comenzaremos por entender cómo se genera un espacio en tres dimensiones. El conocimiento de este espacio y de cada uno de sus planos y componentes, nos permitirá una ubicación espacial adecuada que nos enmarcará desde un comienzo en nuestro ambiente habitual de análisis.

  1. PUNTO: Elemento básico del espacio
                             Punto ideal de dimensión cero


  1. LINEA:


                                            Posición final de P                        Se genera por el desplazamiento de un
punto en determinada dirección. La línea es entonces un espacio de UNA dimensión
Posición inicial
de P


  1. PLANO:
Posición inicial de la recta
                                                         
Si la recta se traslada en una dirección
determinada, genera un plano, el cual se
considera como un elemento de DOS
dimensiones.
    

                                          Posición final de la recta     


  1. SÓLIDO GEOMÉTRICO O VOLUMEN:

Posición inicial  
del plano                                                                                 Si un plano de dos dimensiones se
traslada en una dirección paralela a
sí mismo, el plano habrá generado un
sólido geométrico que limita un espacio
de TRES dimensiones
                                                                   
                              Posición final  
                                                            del plano



El espacio tridimensional queda definido entonces por los planos descritos anteriormente los cuales son perpendiculares entre sí y es en éste marco o escenario donde vamos a describir y analizar los diferentes problemas de la Geometría Descriptiva.


1.2 COMPONENTES DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL:

Decíamos anteriormente que la Geometría Descriptiva tiene por objeto representar en dos dimensiones los objetos que están en un espacio tridimensional. En el contexto de esta definición debemos comprender que para llegar a representar dicho objeto en dos dimensiones, donde el dibujo es la herramienta fundamental para lograrlo, es importante que en un paso previo a este dibujo bidimensional, nos imaginemos primero el objeto y su correspondiente ubicación en 3 dimensiones (3D).

Llamada de nube:   IMPORTANTELos errores más frecuentes durante todo el proceso de análisis en Geometría Descriptiva, suceden cuando nos “limitamos a dibujar” el ejercicio sin tener claramente concebido en nuestra imaginación el objeto tridimensional. Por ello, siempre al iniciar el desarrollo de un problema, especialmente durante los primeros capítulos relacionados con puntos y líneas, debemos realizar un esquema o bosquejo a “mano alzada”, que nos permita visualizar una primera aproximación del problema y entender claramente de esta manera, hacia dónde debemos enfocar la solución del ejercicio. Una vez definida esta etapa, procederemos a dibujarlo, es decir, a dar su representación en 2 dimensiones (2D), con su correspondiente procedimiento y solución.

Este primer capítulo sobre generalidades de la Geometría Descriptiva, pretende dar a conocer de manera clara y detallada el espacio tridimensional con sus respectivas representaciones y definiciones, con el fin de tener bases previas suficientemente sólidas antes de dar inicio a los capítulos posteriores y entrar en el detalle del análisis para puntos y líneas en el espacio.

Llamada de nube:   IMPORTANTEEntrando en materia, ya hemos analizado cómo se genera un espacio en tres dimensiones (3D). Para el análisis de los objetos en este espacio tridimensional, debemos considerar además del espacio y el objeto en sí, el observador. Cuando visualizamos de manera integral estos tres elementos, haremos una buena interpretación de los ejercicios. El análisis espacial de un objeto está condicionado entonces al manejo integral de estos elementos; es decir, que no podremos estudiar un objeto “que esté en el aire”; debemos enmarcarlo en un espacio tridimensional definido por unos planos. De igual manera, la representación del objeto depende de nuestra ubicación como observadores con respecto a dichos planos y al objeto en estudio.




EL OBJETO: Los objetos que analizamos en Geometría Descriptiva son puntos, líneas, planos y volúmenes, además de la correspondiente interrelación entre ellos.

EL ESPACIO: En este mismo capítulo detallaremos más adelante, las particularidades del espacio en cuanto a su disposición, elementos componentes y definición de algunos términos. Por ahora miraremos las dos perspectivas que generalmente manejamos o empleamos para representar dicho espacio tridimensional, el cual como ya sabemos, está definido por planos perpendiculares entre sí. La representación gráfica de este espacio, para efectos del análisis de los diferentes problemas y su visualización en perspectiva, generalmente se realiza de cualquiera de las siguientes maneras:

















EL OBSERVADOR: La posición del observador en el espacio con respecto a los planos, permitirá la representación final del objeto en cada uno  de ellos. Para poder analizar el objeto en el espacio, el observador se ubicará en diferentes posiciones con el fin de obtener la información detallada y necesaria del objeto. Las siguientes son algunas de esas ubicaciones (las principales):






















1.3 PUNTOS Y PLANOS DE PROYECCIÓN EN UN ESPACIO DE DIMENSIÓN TRES:

Como la Geometría Descriptiva trata del análisis de elementos ubicados en el espacio y sus diferentes relaciones tridimensionales, se requiere de un sistema que nos permita representar este análisis en dos dimensiones, con el fin de plasmarlo en una hoja de papel de manera clara y precisa. Este sistema es la PROYECCIÓN ORTOGONAL, sistema que se basa en la proyección de puntos que están en el espacio sobre “planos de proyección”.

                                                                                  


                                                                                  


                                                                                     
 
                                              
         




Como veremos más adelante, para conocer e interpretar en su totalidad un elemento que esté en el espacio, se requieren como mínimo tres planos de proyección: El plano horizontal, el vertical y el de perfil. Estos planos nos permitirán determinar la localización exacta de dicho elemento en el espacio, sus diferentes formas, dimensiones y relaciones espaciales.


1.4 DEFINICIÓN DE TÉRMINOS:

Llamada de nube:   Para RECORDARA continuación detallaremos los diferentes términos y conceptos que constituyen la fundamentación de la Geometría Descriptiva. Es importante que estos términos no sean simplemente memorizados, sino que se integren completamente al pensamiento, desarrollo y análisis de los diferentes problemas.

·         Líneas visuales: En el sistema de proyección ortogonal son las líneas de la vista de un observador que mira un punto o una serie de puntos. Las líneas visuales serán perpendiculares a los planos de proyección.

·         Planos de proyección: Superficies planas que no tienen espesor, son transparentes (como un acetato) y su posición es tal que siempre son perpendiculares a las líneas visuales del observador. La forma y dimensión real de los planos de proyección no es importante, siempre que la línea de tierra sea conocida y esté localizada. En las gráficas anteriores definíamos estos planos como planos 1, 2 y 3. Cada plano tendrá ahora una referencia en particular así: Plano Horizontal (1), Plano Vertical (2) y Plano de Perfil (3)

·         Líneas de proyección: Son rectas que pueden considerarse como prolongación de las líneas visuales del observador y que van desde el punto en el espacio hasta los planos de proyección. Estas rectas son entonces siempre, perpendiculares a los planos de proyección.

·         Línea de Tierra (LT): Es la recta común a dos planos de proyección mutuamente perpendiculares que se intersecan. Uno de estos planos es siempre el plano de proyección horizontal. Esta línea se usa como base para las mediciones que se efectúan para localizar el punto en el espacio.















·         Proyección horizontal: Es la proyección de un punto o una serie de puntos que están en el espacio, sobre el plano de proyección horizontal. Esta es la vista que el observador aprecia cuando sus líneas visuales son verticales o perpendiculares al plano de proyección horizontal.

·         Proyección vertical: Es la proyección de un punto o una serie de puntos que están en el espacio, sobre el plano de proyección vertical. Esta es la vista que el observador aprecia cuando sus líneas visuales son horizontales o perpendiculares al plano de proyección vertical.

  • Líneas de referencia: Al igual que la línea de tierra, una línea de referencia es la recta común a dos planos de proyección mutuamente perpendiculares que se intersecan. No necesariamente alguno de los planos debe ser el horizontal. Por ejemplo una línea de referencia es la que une el plano vertical con el plano de perfil.

1.5 PROYECCIONES SEGÚN LA POSICIÓN DEL OBSERVADOR

Para lograr un buen entendimiento de los temas en Geometría Descriptiva, es fundamental que en principio nos imaginemos muy bien el espacio y sus diferentes componentes, tal y como se ha descrito anteriormente. Este concepto de espacio tridimensional debemos analizarlo e imaginarlo siempre como un “todo integral” cuyos componentes son básicamente: Los planos de Proyección, el Objeto en el espacio y el Observador. A continuación analizaremos cada proyección y cómo debe ubicarse el observador de acuerdo a la vista que se requiera del objeto, tomando como referencia el concepto de Proyección Ortogonal.

Los diferentes elementos que se ven reflejados en cada plano de proyección, son el resultado de lo que el observador mira desde una posición determinada. Para obtener estas proyecciones el observador deberá ubicarse de tal manera que sus líneas visuales sean perpendiculares a cada plano de proyección. Estudiaremos de manera individual cada plano teniendo en cuenta la relación existente entre el plano y el espacio, y entre cada plano y la posición del observador:



a.   Proyección en el Plano Horizontal:


Para obtener las proyecciones de un punto o de un objeto en el plano horizontal, el observador debe ubicarse arriba de la figura espacial de tal manera que sus líneas visuales sean perpendiculares a este plano. Aquí se proyectará entonces, la “vista en planta” ó “vista superior” del objeto estudiado.






La representación de este plano en dos dimensiones
es como se indica en la figura. Es muy importante que en la visualización del plano horizontal, se tenga presente también la ubicación de los otros dos planos de proyección (Vertical y de Perfil)







En la figura anterior se observa la proyección en planta o vista superior del observador. La posición 1 es la que debe tener el observador para proyectar los diferentes puntos o elementos del espacio al plano vertical. La posición 2 es la que se debe tener para proyectar los diferentes puntos o elementos del espacio al plano de perfil


Proyección en el Plano Vertical:




Para obtener las proyecciones de un punto o de un objeto en el plano vertical, el observador debe ubicarse de frente a éste plano de tal manera que sus líneas visuales sean perpendiculares a él. Aquí se proyectará entonces, la “vista de elevación” ó “vista frontal” del objeto estudiado.









La representación del plano vertical en dos dimensiones es como se indica en la figura. Es muy importante que en la visualización de éste plano, se tenga presente también la ubicación de los otros dos planos de proyección (Horizontal y de Perfil)






b.   Proyección en el Plano de Perfil:



La ubicación que el observador deberá tener para visualizar las proyecciones de un elemento del espacio en el plano de perfil, será de frente a éste plano de tal manera que sus líneas visuales sean perpendiculares a él. Aquí se proyectará entonces, la “vista lateral izquierda” ó “vista de perfil” del objeto estudiado.



La gráfica indica la representación en dos dimensiones del plano de perfil. Cuando el observador está ubicado de frente a este plano, el plano horizontal se encuentra en la parte inferior y el plano vertical se sitúa al lado izquierdo.




1.6 PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA PROYECCIÓN ORTOGONAL:

La Geometría Descriptiva trabaja a partir de mediciones y por tanto se debe disponer de los medios adecuados para efectuar mediciones exactas desde un punto en el espacio hasta cada plano de proyección; de esta manera dicho punto podrá representarse totalmente en una hoja de papel. Este procedimiento se conoce con el nombre de “abatimiento de planos de proyección”, mediante el cual se giran o se “abaten” los planos de proyección horizontal y de perfil hasta que todos coincidan en un mismo plano. Así,  el plano de proyección vertical se mantendrá fijo, el horizontal girará respecto a la línea de tierra y el plano de perfil lo hará respecto a su línea de intersección con el plano horizontal y vertical.

A continuación analizaremos paso a paso el abatimiento de los planos de proyección. Este procedimiento es el que nos permitirá pasar la información del elemento en el espacio, a un plano de dos dimensiones, es decir, el paso de la figura espacial a la figura descriptiva. Antes de iniciar el abatimiento, ya debemos tener ubicadas sobre los planos, las proyecciones del punto P, es decir p1,  p2  y  p3


a. Primer paso: Abatimiento del plano horizontal
                       




En esta etapa, abatimos el plano horizontal en el sentido de las manecillas del reloj, tal como lo indica la flecha. De esta manera, la longitud “z” es decir el alejamiento del punto pasará, después del abatimiento, a localizarse por debajo de la línea de tierra.











b. Segundo paso: Abatimiento del plano de perfil





Luego del abatimiento del plano horizontal, abatimos también el plano de perfil de tal manera que quede contiguo al vertical, tal como se indica en la figura. Después del abatimiento, el valor “z”, es decir, el que representa la separación del punto al plano vertical, será el que se mide sobre la línea de tierra desde el origen hacia la derecha del observador















c. Tercer paso: Visualización de los planos abatidos

Una vez realizado el abatimiento de los planos de proyección horizontal y de perfil, tendremos sobre un mismo plano en “dos” dimensiones, los valores del punto en el espacio dados mediante sus proyecciones en cada uno de los planos horizontal, vertical y de perfil.
























Esta es la disposición de los planos de proyección después del abatimiento y lo que finalmente observamos en la figura descriptiva; figura en dos dimensiones que emplearemos para la solución de los diferentes problemas. La figura descriptiva será entonces la siguiente:


Llamada de nube:   IMPORTANTEEl buen manejo de las líneas de proyección en la representación descriptiva es muy importante. Las líneas de proyección son líneas de referencia o de apoyo para realizar el dibujo; ellas no hacen parte del objeto en el espacio. Por lo tanto, en la figura descriptiva, las líneas de proyección se deben hacer en trazo contínuo y muy suave diferenciándolas de las líneas o elementos del objeto. Del buen manejo que hagamos de las líneas de proyección y de los implementos y técnicas de dibujo en general, dependerá no solo la buena presentación de los ejercicios, sino también la claridad y comprensión de los mismos. 


Es importante resaltar que una vez realizado el abatimiento de los planos, el observador debe continuar considerando dicho planos mutuamente perpendiculares, e imaginando siempre la tridimensionalidad del espacio. Es decir, que al observar en la figura descriptiva cada plano de manera individual, se debe tener absoluta claridad sobre lo que representa cada línea en la figura y cual es la ubicación del observador para cada proyección.

El siguiente es un ejemplo donde se muestran las proyecciones horizontal y vertical de un volumen en particular:
















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



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